Logika Matematika

Berikut ini hal-hal yang menyangkut logika matematika.

1. Pernyataan

Yang dimaksud dengan pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak  sekaligus kedua-duanya (benar dan salah). Dan suatu kalimat bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Terdapat dua jenis pernyataan matematika yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti sedangkan pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti. untuk lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini.

contoh :

6×5 = 30 ( pernyataan tertutup yang benar )

6+5=10 ( pernyataan tertutup yang salah )

gula putih rasanya manis ( pernyataan terbuka )

Jarak jakarta bandung adalah dekat ( bukan pernyataan, karena dekat itu relatif )

2. Ingkaran Pernyataan ( negasi )

Ingkaran merupakan pernyataan yang menyangkal yang diberikan. Ingkaran pernyataan dapat dibentuk dengan menambah ‘Tidak benar bahwa …’ didepan pernyataan yang diingkar dinotasikan ~.

contoh :

pernyataan B              : Sepeda motor beroda dua

negasi pernyataan B : tidak benar sepeda motor beroda dua

3. Pernyataan Majemuk

3.1. Konjungsi

suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ p dan q ‘ yang disebut dengn konjungsi nyang dilambangkan dengan

Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi pernyataan majemuk konjungsi.

Jika menemukan suatu pernyataan, kita pasangkan saja dengan tabel disamping sehingga kita dapat menemukan bagaimana kalimat majemuk konjungsinya.

3.2. Disjungsi

suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ p atau q’ yang disebut dengn disjungsi yang dilambangkan dengan

Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk disjungsi.

sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk disjungsi kita tinggal lihat tabel, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk disjungsinya.

3.3. Implikasi

suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘jika maka’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ jikap maka q’ yang disebut dengan implikasi dan dilambangkan dengan

Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk implikasi.

sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk implikasi kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk implikasinyanya.

3.4. Biimplikasi

suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ p jika dan hanya jika q’ yang disebut dengan biimplikasi dan dilambangkan dengan

Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk biimplikasi.

sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk biimplikasi kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk biimplikasinyanya. Maka kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan soal yang nanti akan kita hadapi.

4. Ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk

Ekuivalensi dari pernyataan-pernyataan majemuk ini sangat penting. Kita harus tahu bentuk negasi dari konjungsi, negasi dari disjungsi dan lain sebagainya dalam menyelesaikan berbagai bentuk pernyataan yang nantinya akan muncul. Jadi kita harus hafal bentuk euivalensi pernyataan-pernyataan majemuk disamping. Maka kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan berbagai tipe soal yang nantinya akan kita temui. Alangkah baiknya kita hafal ekuivalensi pernyataan-pernyataan disamping.

Tidak perlu bingung dan terbebani, kunci dari matematika adalah hafal rumus dan bisa menggunakannya. Jika kita sering latihan soal maka secara otomatis kita akan hafal, dan pastinya kita akan mudah menggunakan rumus tersebut jika diterapkan dalam soal.

5. Konvers, Invers dan Kontraposisi

Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut

6. Pernyataan Berkuantor

Pernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada 2 macam yaitu :

6.1 Kuantor Universal

Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan ∀(dibaca untuk semua atau untuk setiap).

contoh : ∀ x R, x>0 dibaca untuk setiap x anggota bilangan riil maka berlaku x>0.

6.2 Kuantor Eksistensial

Dalam pernyataan kuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃ ( dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian )

contoh : ∀ x R, x+5>1 dibaca terdapat x anggota bilangan riil dimana x+5>1.

7. Ingkaran dari pernyataan berkuantor

Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial, begitu juga sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal.

contoh :

p : beberapa siswa SMA rajin belajar

~p : semua siswa SMA tidak rajin belajar

8. Penarikan Kesimpulan

Penarika kesimpulan dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut dengan argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan, yaitu :

8.1 Modus ponens

premis 1 : p →q

premis 2 : p             ( modus ponens)

__________________

Kesimpulan: q

Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“.  sebagai contoh :

premis 1 : Jika bapak datang maka adik akan senang

premis 2 : bapak datang

__________________

Kesimpulan: Adik senang

8.2 Modus Tollens

premis 1 : p →q

premis 2 : ~q             ( modus tollens)

__________________

Kesimpulan: ~p

Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ~q, maka bisa ditarik kesimpulan ~p“. sebagai contoh :

premis 1 : Jika hari hujan, maka adik memakai payung

premis 2 : Adik tidak memakai payung

___________________

Kesimpulan : Hari tidak hujan

8.3 Silogisme

premis 1 : p→q

 premis 2 : q → r            ( silogisme)

       _________________

Kesimpulan:  p →r

Silogisme berarti “jika diketahu p → q dan q→r, maka bisa ditarik kesimpulan p→r“. sebagai contoh :

Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.

Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.

__________________________________________________

Kesimpulan:  Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang.

Catatan Tambahan:

Hukum de Morgan:

¬(p Λ q) ≡ (¬p V ¬q)
¬(p V q) ≡ (¬p Λ ¬q)

Ekuivalensi implikasi:

(p → q) ≡ (¬p V q)