BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET

A.  BARISAN DAN DERET

1.     Pengertian Barisan

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap, maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:

a. 2, 5, 8, 11, 14, ................ ditambah 3 dari suku di depannya

b. 100, 95, 90, 85, 80, ........ dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut barisan geometri. Misal:

a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .......... dikalikan 2 dari suku di depannya

b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ............ dikalikan ½ dari suku di depannya

2.     Pengertian Deret

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:

Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

B.   BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

1.   Barisan Aritmatika

Misal: 2, 5, 8, 11, 14, .........a_n

a₁ = 2 = a

a₂ = 5 = 2 + 3 = a + b

a₃ = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b

a₄ = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b

a_n = a + (n-1) b

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:

                          

   ataudimana:

S_n = a_n = Suku ke-n

a₁ = suku pertama

b = beda antar suku

n = banyaknya suku

Contoh :

7, 10, 13, 16, 19, …

Perhatikan bahwa setiap pasangan berurutan pada barisan tersebut memiliki selisih yang sama, yaitu 10 – 7 = 13 – 10 = 16 – 13 = 19 – 16 = 3. Selisih bilangan-bilangan berurutan pada barisan aritmetika disebut beda, dan biasanya disimbolkan dengan b. Sedangkan bilangan-bilangan yang menyusun barisan disebut suku. Suku ke-n dari suatu barisan disimbolkan dengan U_n. Sehingga U₅ merupakan simbol dari suku ke-5. Khusus untuk suku pertama dari suatu barisan, disimbolkan dengan a.

2.    Suku ke-n Barisan Aritmetika

Pasangan suku-suku berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, sehingga:

U₂ = a + b
U₃ = U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b
U₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U₅ = U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Dari pola di atas, dapatkah ditentukan suku ke-7, suku ke-23, dan suku ke-50? Dengan menggunakan pola di atas, dapat diketahui dengan mudah suku ke-7, suku ke-23, dan suku ke-50 dari barisan tersebut.

U₇ = a + 6b
U₂₃ = a + 22b
U₅₀ = a + 49b

Sehingga suku ke-n dari barisan aritmetika dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:

U_n = a + (n – 1)b, untuk n bilangan asli

3.    Deret Aritmetika (Deret Hitung)

Misal: Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + ...........+ (Sn – 2b) + (Sn – b) + Sn

Dn = Sn + (Sn - b) + (Sn – 2b) + ......+ (a + 2b) + (a + b) + a           +

2 Dn = (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) + ................... sebanyak n

2 Dn = n(a + Sn)

                                                                        atau

  

                   

        dimana :

Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)

Deret aritmetika merupakan penjumlahan dari semua anggota barisan aritmetika secara berurutan.

Contoh : 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …

Bagaimana cara menentukan hasil dari deret aritmetika, jika diambil n suku pertama? Misalkan akan dijumlahkan 5 suku pertama dari barisan 7, 10, 13, 16, 19, …

7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 65

Bagaimana jika yang akan ditentukan adalah jumlah dari 100 suku pertama? Tentunya kita akan kesulitan untuk menghitungnya satu persatu. Berikut ini adalah cara menentukan jumlah dari 5 suku pertama barisan aritmetika di atas tetapi dengan cara yang berbeda.

Misalkan S₅ = 7 + 10 + 13 + 16 + 19, maka

Sehingga nilai S₅, jumlah 5 suku pertama dari barisan tersebut, adalah 26 × 5 : 2 = 65.

Perhatikan bahwa S₅ di atas dapat dicari dengan mengalikan hasil penjumlahan suku pertama dan suku ke-5, dengan banyaknya suku pada barisan, kemudian dibagi dengan 2. Analogi dengan hasil ini, jumlah n suku pertama dari suatu barisan dapat dicari dengan rumus berikut:

S_n = (a + U_n) × n : 2

Karena U_n = a + (n – 1)b, maka rumus di atas menjadi,

S_n = (2a + (n – 1)b) × n : 2

C.   BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1.    Barisan Geometri

Misal: 3, 6, 12, 24, 48, .................

a₁ = 3 = a

a₂ = 6 = 3 x 2 = a x r = ar

a₃ = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar²

a₄ = 24 = 12 x 2 = ar² x r = ar³

a_n = ar^n-1

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:

 

                   dimana:

a_n = suku ke- n (S_n)

a = suku pertama

r = rasio antar suku berurutan

n = banyaknya suku

contoh :

Selidikilah apakah barisan berikut ini merupakan barisan geometri :

a.    3, 6, 9, ….

b.    2p, 6p2, 18p3, …. Dengan p ≠ 0.

Jawab :

Untuk masing-masing barisan tersebut kita tentukan perbandingn dua suku yang berurutan.

2.    Deret Geometri Tak Hingga (Deret Ukur)

Untuk deret geometri dengan deret pertama a, deret kedua ar, deret ketiga ar², demikian seterusnya hingga deret ke n adalah ar^n-1, maka :

        D_n   = a + ar + ar² + ar³ + ............ + ar^n-1          … (1)

Kalikan kedua ruas persamaan (1) dengan r dan diperoleh

r D_n = ar + ar² + ar³ + ............ + ar^n-1 + arⁿ       … (2)

Selanjutnya kita kurangi persamaan (2) dengan persamaan (1) dan diperoleh      

rD_n - D_n  = arⁿ - a

(r - 1)D_n = a (rⁿ - 1)

 
                       dimana: r ≠ 1.

D_n = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)

                Contoh :

Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga berikut !

4 + 2 + 1 + 1/2 + ....

Jawab :

Dari deret 4 + 2 + 1 + 1/2 + …, diperoleh a = 4 dan r = 1/2 sehingga |r| < 1.

Jadi, 

http://rumus-matematika.com/materi-barisan-dan-deret-aritmatika/

yos3prens.wordpress.com/2012/10/27/barisan-dan-deret-aritmetika/

Buku Paket  Kompetensi Matematika bab 6 Barisan dan deret, yudhistira . Johanes, S.Pd. M.Ed. . Kastolan, S.Pd. Sulasim, S.Pd.